関数
f(x)=|x|
（ただし-π≤x<π）の
f(x+2\pi )=f(x)
によって周期的に拡張したf(x)をフーリエ級数展開すると
f(x) = \frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }(cosx+\frac{cos3x}{3^2}+\frac{cos5x}{5^2}+\cdots)
ってなる。ってことは
|x|=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }(cosx+\frac{cos3x}{3^2}+\frac{cos5x}{5^2}+\cdots)
が-π≤x≤で成り立つ。ここでx=0と置くと、
0=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots)
整理して
1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots +\frac{1}{(2n+1)^2}+\cdots =\frac{\pi^2}{8}
おーすげー
これをさらに整理
\pi =2 \sqrt{2\Bigl(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots +\frac{1}{(2n+1)^2}+\cdots \Bigr)}
πってこんなんでも計算できるんだ・・・
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